Los 10 Casos de Factorización con Ejemplos

En el siguiente artículo se tratarán los 10 casos de factorización ya que es un tema de interés común y en muchos casos se evidencia como los estudiantes no logran identificar de manera eficaz cada uno de ellos en las actividades, lo que lo convierte en un tema complejo.

En este artículo se explicará cada caso de factorización con el objetivo de que los estudiantes desarrollen criterios adecuados para encontrar una solución y definir cada situación en el desempeño institucional. Una vez que identifique la situación de factoraje en la que se encuentra, las soluciones se volverán más interesantes y todo fluirá sistemáticamente.

¿Qué es la factorización?

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en descomponer una expresión algebraica en factores en forma de productos (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.). Existen diferentes métodos de análisis factorial, dependiendo de la composición matemática estudiada. El objetivo es simplificar o reescribir una expresión en términos de un «bloque fundamental» llamado factor, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

A continuación, se explicarán cada uno de los casos de factorización:

Caso 1: Factor común

El factor común de un se aplica cuando, en un binomio, trinomio y polinomio, se encuentra un término repetido, que puede ser un número o una letra.

Si hay un factor común en un polinomio, entonces este polinomio será igual al factor común multiplicado por el polinomio por el cual cada elemento fue dividido por este elemento repetitivo.

Aplicar el factor común significa tomar tanto letras como números (coeficientes) comunes, en el caso de las letras se toma la letra con el menor exponente. Y para los números, se escogerá el MCD (máximo común divisor), es decir, el mayor número que los puede dividir a todos.

Características y cuándo aplicarlo

• Se aplica a ecuaciones binomiales, trinomios y polinómicas con cuatro o más términos. No es aplicable en monomio.
• Este es el primer caso a comprobar cuando se trata de factorizar un polinomio.
• El factor común es lo que se encuentra al multiplicar por cada término. Puede ser un número, una letra, varios caracteres, un signo negativo, una expresión algebraica (entre paréntesis) o una combinación de todo lo anterior.

Ejemplo

Caso 2: Agrupación por términos semejantes

En este caso se debe encontrar el factor común en los términos que vamos a asociar, luego aplicar el factor común nuevamente y, por último, expresar el polinomio en factores. Para ello, se deben agrupar los términos con coeficientes comunes en paréntesis desde el inicio.

Características y cuándo aplicarlo

Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1).

Ejemplo

Caso 3: Trinomio Cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto resulta de multiplicar el binomio por sí mismo o por su cuadrado. Por ejemplo:

(x + 2)² = (x + 2) (x + 2) = x² + 4x + 4.

Fórmulas aplicables para un trinomio cuadrado perfecto:

Para resolver un trinomio cuadrado perfecto, se deben utilizar las siguientes fórmulas, según corresponda:

a² + 2ab + b² = (a + b)(a+b) = (a+b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)(a+b) = (a-b)²

Características y cuándo aplicarlo

• Se aplica solamente en binomios donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
• Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 8n, 10a, 16b, etc.)

Ejemplo

Caso 4: Diferencia de Cuadrados perfectos

En la Diferencia de Cuadrados perfectos, existe una diferencia (signo de resta) entre los dos términos, en donde cada término tiene una raíz cuadrada específica. Para realizar algún ejercicio de este tip, se debe basar en la siguiente fórmula:

a² – b² = (a+b) (a-b)

Características y cuándo aplicarlo

• El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).
• Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).

Ejemplo

Caso 5: Trinomio adición y sustracción

Algunos trinomios cuyo primer y tercer término son cuadrados perfectos (es decir, tienen raíces cuadradas exactas), pueden ser transformado como trinomios cuadrados perfectos.

En el caso 5 se usa la técnica de completar cuadrados, en la que se suman y restan el doble del producto del primer y segundo término. Luego de ello, se efectúa una diferencia de cuadrados y fin.

Características y cuándo aplicarlo

• El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
• El coeficiente del primer término debe ser uno (1).
• El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.

Ejemplo

Caso 6: Factorización Trinomio de la forma x²+bx+c

Las características del caso 6 de factorización:

• El coeficiente del primer término es 1.
• La variable del segundo término es la misma que la del primero, excepto que su exponente es la mitad.
• El tercer término es independiente del literal de los términos primero y segundo.

Características y cuándo aplicarlo

• El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
• El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).
• El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.

Ejemplo

Caso 7: Factorización Trinomio de la forma ax²+bx+c 

Se diferencia del Caso 6 porque a primera posición precede a un número distinto de 1 y debe ser positiva.

Para realizar este caso se deben seguir los siguientes pasos:

• Multiplicamos el coeficiente a del término (ax²) por cada término y dejamos expresada la multiplicación del término bx o término medio por a.
• Descomponemos el trinomio en dos binomios, donde el primer término será la raíz del primer término una vez multiplicado por a.
• Dividir todo por a, para no cambiar el trinomio.
• Colocamos los signos de los binomios, de manera que el primer binomio tendrá el signo del término bx y el segundo binomio su signo lo establecerá la multiplicación de los signos de términos bx y c.
• Se buscan los términos restantes como en el caso anterior y simplificamos el número del denominador con cualquier binomio.

Características y cuándo aplicarlo

• Se aplica tan solo en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).
• Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.)

Ejemplo

Caso 8: Cubo perfecto de binomio

Para resolver este caso nos basaremos en dos fórmulas generales:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Características y cuándo aplicarlo

• Los términos primero y cuarto tienen una raíz cúbica.
• Incluye sólo cuatro términos.
• Todos sus signos son positivos o alternos (+, -, +, -).
• Están ordenados a partir de una letra y su exponente decrece a medida que avanzas hacia la derecha.

Ejemplo

Caso 9: Suma o diferencia de cubos perfectos

Para resolver este caso nos basaremos en dos fórmulas generales:

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Para resolver el presente caso se debe calcular la raíz cúbica de cada término y luego aplicar la fórmula general anterior, sigue siendo la mejor opción para operar este caso.

Ejemplo

Caso 10: Suma o diferencia de dos potencias iguales

Cuando se encuentran sumas o restas de términos a la quinta potencia, la séptima potencia u otras raíces impares.

Pasos a seguir para resolver el caso 10:

• Abre un par de corchetes.
• En el primer paréntesis, saca la raíz de ambos términos y que tome el signo inicial de los mismo.
• En el segundo paréntesis, pon el polinomio de tal forma que el primer término decrece y el segundo término crece en cuanto a sus exponentes.
• Si es una suma, entonces el polinomio tiene signos intercalados en el segundo paréntesis (-, +, -, …) y si es una resta, entonces el polinomio tiene signos positivos en su totalidad en el segundo paréntesis.

Ejemplo

Caso especial: Suma de cuadrados

Cuando se encuentran dos términos sumando y elevados al cuadrado: (a² + b²)

Esta se podrá factorizar de la siguiente manera: (a² + b²) = (a + c + b) · (a – c + b)

Ejemplo

Fuente

Inform Global. (s.f.) Los 10 casos de Factorización con ejercicios resueltos. Recuperado de: https://informeglobal.com/casos-de-factorizacion-con-ejemplos-resueltos/