Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Los cálculos trigonométricos son esenciales en todas las ciencias donde se encuentra la relación entre ángulos y magnitudes. Por tal razón, en el presente artículo se discutirán diferentes sistemas de medición de ángulos y cómo estas medidas están directamente relacionadas con el arco y el radio.

Es importante notar que al resolver y analizar los elementos de los triángulos, la geometría y el álgebra son frecuentemente utilizados por la trigonometría, pero no deben confundirse con ninguna de estas ciencias matemáticas.

Índice
  1. Definición de "ángulo"
  2. Ángulos y Arcos: medidas
  3. Sistema Sexagesimal
  4. Sistema Centesimal
  5. Sistema Circular
  6. Relación que existe entre Radián, Grado Sexagesimal y Grado Centesimal
    1. Ejemplos
  7. Relación entre entre Radio, Ángulo y Arco
  8. Sector Circular
  9. Fuente

Definición de "ángulo"

En geometría, un ángulo se puede definir como una porción de un plano definida por dos rayos llamados lados que comparten un origen común llamado vértice del ángulo. La unidad del ángulo son los grados.

La medida de un ángulo es considerada como la amplitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados. Su medida es un múltiplo de la razón entre la longitud del arco y el radio. Su unidad natural es el radián, pero también se puede utilizar el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Considere un segmento de recta que involucra un sistema cartesiano de ejes, Figura 1. Suponiendo que la recta OP inicialmente ocupa la posición O-X y gira alrededor del punto O que está en el mismo plano, decimos que la línea produce un ángulo lineal. Este ángulo se puede denotar con una letra minúscula del alfabeto griego, θ, o escribiendo letras latinas: ángulo XOP.

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Por conocimiento general se sabe que, los ángulos positivos son los ángulos formados por una línea que gira en sentido antihorario; y como ángulos negativos cuando las rectas generatrices giran en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

El segmento O-P1 que se considera como origen del ángulo se llama lado inicial y el segmento de recta OP lado terminal.

Ángulos y Arcos: medidas

Para medir una cantidad se compara con otro volumen tomado como unidad. Los ángulos se pueden medir como arcos, por lo que la medida de un ángulo es compararlo con la unidad de ángulo. Similar a la medida de un arco por circunferencia, se compara con otro arco de la misma circunferencia, o con otro arco del mismo radio, tomado como unidad.

Entre los diversos sistemas para medir ángulos y arcos, existen tres sistemas principales: el sistema decimal de género, el sistema decimal y el sistema de círculo o radio. Cada sistema y sus componentes se discutirán a continuación.

Sistema Sexagesimal

El sistema decimal es un sistema de grupos de números espaciales que utilizan el número 60 como base. Tiene su origen en la antigua Mesopotamia, durante la civilización sumeria. El sistema decimal de género se utiliza para medir tiempo (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados) principalmente.

El sistema sexagesimal se empleaba sólo formalmente en cálculos numéricos, ya que los nombres de los números en sumerio, acadio y otras lenguas de los numerales no seguían un sistema sexagesimal propiamente dicho, sino que como los numerales de la mayor parte de lenguas del mundo tenían nombres basados en el sistema decimal o vigesimal.

En este sistema, la circunferencia se considera dividida en 360 partes iguales, cada una de las cuales se denomina grados. Entonces, los grados son iguales a trescientos un sexto del perímetro. De la misma manera, el grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos; el minuto, a su vez, se divide en 60 partes iguales llamadas segundos.

Estas divisiones de sesenta en sesenta justifican el nombre de sexagesimal que se da al sistema.

Sistema Centesimal

Es una unidad para medir ángulos planos y es una alternativa a los grados decimales y radianes. El valor de los grados decimales se define como el ángulo central dividido por un arco, cuya longitud es el cuatro por ciento (1/400) del perímetro. Su símbolo es una pequeña gema, en el indicador anterior se coloca después del número respectivo.

En este sistema la circunferencia se divide en 400 partes iguales. Así, un grado decimal es igual al cuatro por ciento de la circunferencia. El nivel se divide en 100 minutos y minutos en 100 segundos respectivamente. Este sistema se utiliza principalmente en geodesia.

Sistema Circular

Este sistema también se llama natural y se toma como unidad de medida del arco de círculo cuya longitud es el radio de dicha circunferencia. La unidad de arco se llama radián. Sabemos que la circunferencia es 2πr; entonces, si dividimos por r, obtenemos una circunferencia de 2π radianes.

Relación que existe entre Radián, Grado Sexagesimal y Grado Centesimal

La circunferencia es llamada con la letra c, en donde podemos escribir:

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Entre grado sexagesimales y radianes tenemos la siguiente relación:

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Ejemplos

  1. ¿Cuántos grados centesimales hay en 90 grados sexagesimales?
Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

2. En sistema centesimal ¿Cuánto vale el ángulo 30° 15' 40'' ?

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

3. ¿A cuántos grados sexagesimales equivales un radián?

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Relación entre entre Radio, Ángulo y Arco

La relación que se existe entre el radio (R), el ángulo(θ) en radianes y el arco o longitud de arco (S) es la siguiente:

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Ejemplo. ¿Qué espacio recorre un barco al girar un ángulo de 30° sobre una circunferencia de 50 metros de radio?

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Sector Circular

Se denomina sector circular a la porción del círculo determinada por un ángulo central formado por dos radios; quedando así delimitada por un arco y dos radios. En la imagen que se presenta a continuación se tienen por tanto dos sectores circulares, uno limitado por el arco AMB y otro limitado por el arco ANB.

Ángulos y Arcos: Conceptos y ejemplos

Como se muestra en la figura, el arco del arco es igual al producto del arco por el radio. Pero gracias al hecho de que sabemos que la longitud está relacionada con el ángulo de barrido, finalmente podemos usar dos fórmulas.

Fuente

Informe Globar. (s.f.). Ángulos y Arcos: Que son, medición y ejemplos. Recuperado de: https://informeglobal.com/angulos-arcos-medicion-ejemplos/

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *