Aplicación de Media, Mediana y Moda en Datos Agrupados y No Agrupados

En el presente artículo se hablará las medidas de tendencia central más utilizadas, como la media, la mediana y la moda. Para esto, es importante especificar que estas medidas de centralización se calculan se calculan de forma distinta para los datos agrupados y no agrupados en las diferentes situaciones problema.

Medidas de tendencia central

Una medida de tendencia central es un valor único que tiene como objetivo describir un conjunto de datos, determinando su ubicación central. De esta manera, las medidas de tendencia central a veces se denominan medidas de tendencia central que también se clasifican como un resumen estadístico.

La media (a menudo conocida como promedio) es probablemente la medida de tendencia central con la que estás familiarizado, pero existen otras, como la mediana y la moda.

La Media

Se la conoce también como media aritmética y generalmente denominada media, es una medida de tendencia central que se obtiene al sumar cada dato y dividirlo por el número de datos. Por otro lado, si la media se obtiene en una población, entonces la media se debe denotar con la letra miu (µ) y si se calcula dentro de una muestra, entonces se debe denotar con una x con una línea en la parte superior.

Cabe recalcar que este tipo de medida, se puede calcular tanto en variables continuas y discretas.

Fórmula de la Media para Datos no Agrupados

La formula para el cálculo de la media en datos no agrupados, se diferencia solo en el símbolo en caso de que se aplique la media en una muestra o población:

Para esta ocasión: N es la cantidad total de datos y por otra parte xi es cada uno de los datos que tenemos a nuestra disposición, los cuales como lo indica la sumatoria deben ser sumados en su totalidad y luego se divide en el número total de datos.

Fórmula de la Media para Datos Agrupados

En el caso del cálculo de la media para datos agrupados, a ecuación cambia drásticamente porque se tienen en cuenta muchos factores nuevos. Porque en ella se tiene en cuenta la marca de clase y la frecuencia absoluta.

Al usar la fórmula de la media para datos agrupados se debe sumar cada frecuencia absoluta con la marca de clase en cada intervalo y luego dividirla en la cantidad total de datos.

Ejemplos (Media)

Cálculo de la Media para datos no agrupados

a) En una evaluación de ingles las notas de 10 estudiantes fueron las siguientes:

90, 70, 60, 20, 40, 50,70, 50, 40, 75

Se pide calcular la media para dichos datos.

Solución:

En esta ocasión se presenta una muestra de datos no agrupados, en donde N= 10. Por tanto, la media se expresaría como:

Cálculo de la media para datos agrupados

b) La siguiente tabla de frecuencias expresa el peso para 40 trabajadores, por tanto nos piden calcular la media para dichos datos agrupados.

Peso (Kg)	Xi	Fi	XiFi
55 - 62	58,5	5	292,5
63 - 70	66,5	15	997,5
71 - 78	74,5	12	894
79 - 86	82,5	5	412,5
87 - 94	90,5	3	271,5
Total		40	2868

Solución:

En esta ocasión media se aplica para datos agrupados, por tanto tenemos que tener en cuenta la marca de clase (xi) y la frecuencia absoluta acumulada (fi). Recuerda que la sumatoria indica que se debe sumar dentro de los cinco intervalos el producto de la frecuencia absoluta junto a la marca de clase, en este caso en la tabla se expresa como la suma de todos estos productos es 2868.

La Mediana

La mediana es el valor intermedio encontrado entre conjuntos de datos, cuando están ordenados. Es importante precisar que el 50% de los datos está por encima de la media y el 50% restante está por debajo.

Se usa el símbolo Me para datos agrupados y no agrupados.

Fórmula de la Mediana para Datos no Agrupados

La formula que aplicaremos para el caso de la mediana en datos no agrupados, se divide tanto para una cantidad impar de datos como para una cantidad par. De esta manera, para el caso de una muestra con una cantidad impar de datos la fórmula de la Mediana es:

Cuando se tiene muestra con una cantidad par de datos la fórmula de la Mediana es:

Fórmula de la Mediana para Datos Agrupados

Para datos agrupados se debe usar la siguiente fórmula:

• En donde i seria el intervalo con una frecuencia acumulada que supera el valor de n/2.
• Li es el límite inferior del intervalo en donde la frecuencia acumulada supero el valor de n/2.
• El valor de n es el total de datos de nuestra muestra.
• Fi-1 es la frecuencia acumulada que está en el intervalo anterior a la mediana.
• fi es la frecuencia absoluta en el intervalo de la mediana.
• Y finalmente a, es la amplitud que tiene nuestro intervalo.

Ejemplos (Mediana)

Cálculo de la Mediana para datos impares no agrupados

a) Se tiene una muestra de tamaño 7, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana:

4, 7, 5, 6, 3, 2, 7

Solución:

En primer lugar se debe ordenar los datos de manera creciente o decreciente.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 7

Después, aplicar la fórmula de la mediana para datos impares no agrupados. Sabiendo que n que es el número total de datos es 7.

Finalmente, se ha encontrado la mediana, que es el dato X4 o mejor dicho el dato que ocupa la cuarta posición que sería 5:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 7

Cálculo de la Mediana para datos pares no agrupados

b) Se tiene una muestra de tamaño 8, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana:

12, 15, 14, 16, 11, 10, 10, 13

Solución:

En primer lugar, se deben ordenar los datos de manera creciente o decreciente.

16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 10

Después se aplica la fórmula de la mediana para datos pares no agrupados, con n igual a 8 que es la cantidad total de datos. Como vemos usaremos los datos de la cuarta y quinta posición, que son 12 y 13 respectivamente.

Cálculo de la Mediana para datos agrupados

c) Se tiene la distribución de frecuencias de la cantidad de hogares que no tienen servicio de luz, en 212 municipios. Para ello el investigador no solicita hallar la mediana de dichos datos.

Duración	fi	Fi
350 - 399	4	4
400 - 449	6	10
450 - 499	9	19
500 - 549	20	39
550 - 599	31	70
600 - 649	80	150
650 - 699	42	192
700 - 749	10	202
750 - 799	8	210
800 - 849	2	212
Total	212

Solución:

Se inicia determinando en qué intervalo se encuentra la mediana, para ello debe cumplir que el valor de n/2 sea menor igual que la frecuencia absoluta acumulada (Fi):

En este caso el intervalo de la mediana se encuentra en el primer intervalo en donde la frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a 106, por tanto el intervalo a usar es el que tiene la frecuencia absoluta acumulada como 150. El valor de 70 que es el anterior no nos sirve, ya que es menor que 106.

De la misma forma, en este caso i=6, que es el número del intervalo a tener en cuenta. Por tanto, cada una de las variables que necesitamos son:

Por último, se calcula la mediana reemplazando cada uno de los datos encontrado:

La Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en nuestro conjunto de datos. Es importante especificar que el conjunto de datos puede presentar una moda, varias modas o no. En un gráfico absoluto, la moda es la barra más alta de nuestro gráfico.

El símbolo de la moda es Mo, tanto para datos agrupados y no agrupados.

Fórmula de la Moda para Datos no Agrupados

Para calcular la moda (Mo) en datos no agrupados, solo hay que fijarse en los datos más frecuentes y esta será la moda.

Puede darse el caso de que tengamos dos o más modas, esto sucedería si dos o más datos se repitieron con mayor e igual frecuencia en nuestro muestra.

Fórmula de la Moda para Datos Agrupados

La formula que se usará para el cálculo de la moda, en el caso de que tengamos datos agrupados será:

• Li es el limite inferior del intervalo con mayor frecuencia absoluta.
• fi-1 es la frecuencia absoluta anterior a la de mayor frecuencia.
• fi+1 es la frecuencia absoluta del siguiente intervalo al de mayor frecuencia absoluta.
• a es la amplitud del intervalo de mayor frecuencia absoluta.

Ejemplos (Moda)

Cálculo de la moda para datos no agrupados

a) Dada la muestra con los siguientes valores 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda.

Solución:

En este caso Mo = 25, ya que es el dato que más repite. Se dice que es un caso unimodal.

b) Dada muestra con los siguientes valores 20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda.

Solución:

En esta ocasión Mo= 20 Mo= 25, ya que estos dos valores son los que más se repiten, cada uno dos veces. Se dice entonces que es un caso bimodal.

c) Dada la muestra con los siguientes valores 20, 23, 20, 24, 25, 25, 26, 30 y 30, calcular la moda.

Solución:

En este caso Mo= 20 M0= 25 y Mo=30, estos son los datos que más se repiten y con una frecuencia de dos veces cada uno. Se dice entonces que es un caso multimodal.

Cálculo de la moda para datos agrupados

d) Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular lo moda para dicha muestra.

Duración	fi	Fi
350 - 399	4	4
400 - 449	6	10
450 - 499	9	19
500 - 549	20	39
550 - 599	31	70
600 - 649	80	150
650 - 699	42	192
700 - 749	10	202
750 - 799	8	210
800 - 849	2	212
Total	212

Solución:

En este caso se presenta un ejercicio con datos agrupados en intervalos, por ende debemos usar la formula para tal caso.

Por definición la moda para datos agrupados es:

Ahora hay que encontrar cada valor independiente de nuestra formula y a calcular la Mo.

Relación entre Media, Mediana y Moda con la distribución de frecuencias

Dados los valores de la media, la media y la moda, podemos deducir el tipo de distribución establecida en nuestra prueba. Los casos que podemos tener con relación a estas tres medidas de tendencia central son:

• En el caso de que la media < mediana, contamos con una distribución asimétrica sesgada a la izquierda.
• Si la media es igual a la mediana y existen dos modas, estamos hablando de una distribución bimodal, caso que es poco frecuente.
• Si la media, la mediana y la moda son iguales, contamos con una distribución simétrica.
• En el caso de que la media > mediana, contamos con una distribución asimétrica sesgada a la derecha.

Fuente

Informe Global. (s.f.). Media , Mediana y Moda en Datos Agrupados y No Agrupados. Recuperado de: https://informeglobal.com/media-mediana-y-moda-resumen/