El hombre se enfrenta día a día a situaciones problemáticas donde siempre trata de buscar el mayor beneficio posible en sus tareas, por ejemplo, un agricultor siempre busca invertir la menor cantidad de materiales para sacar el mayor provecho. Se cita este ejemplo, ya que, por lo general, los alumnos preguntan a los docentes: ¿esto para que sirve en nuestras vidas?, en pocas palabras, este tema que se abordará será útil para encontrar la mejor forma de realizar una tarea específica.
En la presente publicación se indicará cómo usar la diferencia para encontrar valores máximos y mínimos de una función. Para ello, es importante comprender los conceptos de primera y segunda derivada de una función, así como la representación de funciones en el plano cartesiano.
Primera derivada: definición y regla
Por la primera derivada, podemos inferir si existe un punto crítico en nuestra función, este tipo de puntos son los que pueden convertirse en finales absolutos o relativos.
Es importante tener en cuenta que un extremo absoluto puede ser el valor más pequeño de nuestra función (mínimo absoluto) o más grande (máximo absoluto), por otra parte, tenemos los máximos relativos que son valores grandes respecto a sus valores más cercanos tanto por la izquierda y la derecha, y por último los mínimos relativos son valores pequeños respectos a sus valores más cercanos tanto por la izquierda y la derecha.
A continuación, se detalla la definición de la primera derivada para la existencia de los puntos críticos.
Si f(x) es derivable en c y f'(c)=0, decimos que c es un punto crítico.
Regla de la Segunda Derivada para determinar máximos y mínimos
Una vez establecido el criterio de la primera derivada, es importante utilizar el criterio de la segunda derivada para que se pueda determinar con certeza el valor mínimo o máximo. Entonces, la definición del criterio para la segunda derivada muestra:
Si f es dos veces derivable y x=c es un punto crítico, entonces:
- c es un mínimo relativo si f´´(c)>0
- c es un máximo relativo si f´´(c)<0
- Si f´´(c)=0, la regla no determina si se trata o no de un extremo
Ejemplos sobre Máximos y Mínimos con función
Encontrar los máximos y mínimos locales, haciendo uso del principio de la segunda derivada de la siguiente función:
f(x)=x³ − 3x + 2
Solución:
Primero se debe calcular la primera derivada e igualamos a cero, ya que este proceso asegura la existencia de puntos críticos en nuestra función.
Por tanto, los puntos críticos son x=1 y x=-1. Ahora se procederá a calcular la segunda derivada, para luego poder llegar aplicar la regla y así determinar qué puntos son máximos y mínimos locales.
Una vez que se determinó el comportamiento de los puntos críticos hallados bajo el criterio de la segunda derivada, hemos llegado a definir qué puntos son máximos y mínimos locales. En conclusión, tenemos que el punto x=1 es un mínimo local y el punto x=-1 es un máximo local. Una vez que realizamos la gráfica podemos comprobar nuestra respuesta, y es evidente que solo vamos a tener puntos críticos locales:
Otros ejemplos de Aplicación de la Derivada con Máximos y Mínimos
Una fábrica de cajas tiene a disposición una lámina de cartón de dimensiones 120 cm x 75 cm. Dicha empresa desea construir una caja que no tendrá tapa, y esta debe contar con el mayor volumen posible mediante el corte de cuadrados semejantes en cada una de las esquinas de la lámina, que permitirán doblar las caras laterales sin dificultad. ¿Qué dimensiones tendrá la caja para un volumen máximo? ¿cuál será dicho volumen?
Solución:
Primero se debe plantear el gráfico de la situación problema inicial, partiendo de que tenemos una lámina de 120cm x 75 cm.
Analizando la lámina se concluye que la altura de nuestra caja será x, lado será (120-2x) y el ancho (75-2x). Dicho esto, nuestro volumen de la caja se expresaría como:
Ahora es importante aclarar que x no podrá estar por encima de los 37.5cm, en la medida que nuestro volumen daría cero o negativo. Por tanto, 0<x<37.5, lo que quiere decir que x toma valores entre 0 y menores que 37.5. Ahora bien, como se sabe que el ejercicio es de maximización, procederemos a aplicar la regla de la primera derivada que nos garantiza la existencia de puntos críticos:
Ahora se puede concluir que x1=50 cm debe ser descartado de la solución, en la medida que x no puede tomar valores por encima de 37.5cm. Ahora bien procedemos a aplicar la regla de la segunda derivada para hallar los valores máximos y mínimos.
De esta forma se interpreta que en x=15 cm tenemos un máximo y en x=50 cm un mínimo. Por tanto, en x=15 cm encontramos el máximo que estábamos buscando. Así, las dimensiones de la caja para el máximos volumen serán:
y su volumen máximo:
Fuente
Informe Global. (s.f.). Derivada: Aplicaciones – Máximos y Mínimos. Recuperado de: https://informeglobal.com/aplicacion-de-la-derivada-maximos-y-minimos/