Cómo Obtener el Dominio y Rango de una Función con Ejemplos

En la presente publicación se detallarán definiciones de dominio y rango de una función, se expondrán ejercicios con sus respectivas soluciones, entre otros. Por ello, es importante tener claro que las funciones que se tratarán en el presente artículo tendrán dos variables, una variable independiente (x) y una variable dependiente (y o f(x)), por lo que gráficamente representarlos en el plano cartesiano.

El Dominio de una función

Para una función f(x) definida por una variable x, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable independiente x, de forma que la expresión definida sea real.

Ejemplo

Como ejemplo tenemos la siguiente gráfica de la función, es claro que el dominio es la parte que se encuentra resaltada y va desde cero hasta infinito. Expresado de otra manera el Dom : [0,∞), el cero se debe tomar porque la función está definida en dicho punto, para ello se usará el intervalo cerrado, en caso que no estuviera definida en cero este quedaría con intervalo abierto.

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El Rango de una función

El rango o recorrido de f(x) es el conjunto de todos los valores que la variable dependiente puede tomar, una vez que ingresados cada uno de los valores del dominio establecidos por la variable independiente x.

Para entender más sobre qué es el rango o recorrido de una función, se ha tomado como referencia la gráfica anterior. En tal caso el rango es la parte que resaltada y se define como Rango:[0,∞). Igualmente, como en el caso anterior hemos tomado el cero en los valores que puede tomar f(x) y para ello usamos el intervalo cerrado.

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Ejercicios: encontrar Dominio y Rango de una función

Ejercicio 1. Encontrar el dominio de la siguiente función racional:

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Para encontrar el dominio de la función se debe evaluar qué valores puede tomar x, en este caso se buscará el valor cuando el denominador se convierte en cero. Lo que se debe a que se tiene una función racional y el denominador no puede ser igual a 0. De tal manera, se procede a calcular la indeterminación o el valor que no puede tomar x:

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Por último, se deduce que el dominio de esta función será Dom: (-∞, - 3) U (- 3, + ∞). Gráficamente se interpreta que hay una asíntota vertical en x=-3, por tanto la gráfica quedaría de la siguiente forma:

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Ejercicio 3. Determinar el dominio de la siguiente función con radical.

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En caso de tener una función con radicales y se necesite determinar el dominio de dicha función, se debe resolver la siguiente inecuación para lograr hallar el dominio.

(lo que hay dentro del radical) ≥0 Definido aquello, para encontrar f(x) se tiene la siguiente expresión:

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Por último, se concluye que el dominio es Dom: [4,∞). Gráficamente comprobando el resultado es:

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Ejercicio 3. Encontrar el rango de la función definida por:

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Para encontrar el rango de manera efectiva y precisa, solamente se debe encontrar la función inversa de f(x). Dicho esto, se procede a encontrar la función inversa, el cual para facilitar el cálculo reemplazamos f(x) por y, y luego se despeja x.

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Despejando x en función de y:

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Por último, se tiene una nueva función en la que se puede determinar los valores que puede tomar y, o dicho de otra forma los valores para el rango. Si se observa, la presente función es racional, por tal razón, en el denominador se determinarán los valores en los que este se hace cero.

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Entonces se tiene que en y=2 nuestra función presenta una indeterminación o no existe en dicho valor, lo cual permite concluir que el rango de nuestra función es Ran: ℜ - {1}, es decir, todos los reales diferentes de 1.

Fuente

Informe Global. (s.f.). Obtener Dominio y Rango de una Función: 7 Ejercicios Resueltos. Recuperado de: https://informeglobal.com/ejercicios-dominio-rango-de-una-funcion/

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