Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

En muchos casos, debe determinar alturas y distancias que no se pueden medir directamente, y aquí es donde se producen los triángulos rectángulos. Por ejemplo, si tiene un lago, un río o una montaña entre dos puntos, y se desea encontrar la distancia entre dos puntos o encontrar la cota de un punto inaccesible, etc.

Este problema se puede resolver usando trigonometría. Esto se debe a que se pueden crear fácilmente triángulos rectángulos o diagonales a estas distancias, y los elementos necesarios para su resolución se pueden determinar por medición directa.

Índice
  1. Definición
  2. Forma de Resolver un Triángulo Rectángulo
  3. Elementos de un Triángulo Rectángulo
  4. Términos y casos especiales
    1. Triángulo rectángulo isósceles
  5. Propiedades de un Triángulo Rectángulo
  6. 4 posibles casos en triángulos rectángulos
    1. Caso I: Se conoce la Hipotenusa y un cateto
  7. Caso II: Se conocen dos catetos
  8. Caso III: Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo
  9. Caso IV: Se conoce un cateto y un ángulo agudo
  10. Fuente

Definición

En geometría, cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, 90 grados, se llama triángulo rectángulo. La razón de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un método para calcular triángulos planos. En particular, en el triángulo rectángulo, se realizó en Mesopotamia el teorema de Pitágoras conocido por los babilonios desde 2000 hasta 1600 aC.

Forma de Resolver un Triángulo Rectángulo

Los triángulos rectángulos están formados por 6 lados:

  • 3 lados
  • 3 ángulos

Para resolver un triágunlo rectángulo es necesario encontrar las magnitudes de todos sus elementos y para ello se deben tener en cuentan ciertos aspectos en donde se pueden presentar los siguientes casos:

  1. Se conocen los tres lados del triángulo.
  2. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido por ellos.
  3. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
  4. Se conocen dos ángulos y un lado cualquiera.
  5. Se conocen los tres ángulos.

Nota: Los primeros cuatro casos se pueden resolver, pero no el quinto, porque los ángulos están relacionados con las aristas y si se desconocen todas las aristas, estas relaciones no se pueden establecer.

Elementos de un Triángulo Rectángulo

El caso del triángulo rectángulo tiene tres lados que se conocen como:

  • Hipotenusa: Lado que se opone al ángulo recto y se denota con la letra a.
  • Cateto Opuesto: Lado que se opone al ángulo β y se denota con la letra b.
  • Cateto Adyacente: Lado contiguo al ángulo β  y se denota con la letra c.
Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Con respecto al ángulo β podemos encontrar las siguientes funciones trigonométricas, las cuales necesitaremos en el futuro para resolver casos problema.

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Términos y casos especiales

El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa y es el lado opuesto al ángulo recto. Los dos lados más cortos se llaman catetos y forman ángulos rectos; Cada pierna está en un ángulo agudo. Solo cuando se completan las medidas de los tres lados, forman un triple llamado triple pitagórico.

Triángulo rectángulo isósceles

Si los catetos son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles; siendo:

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Un triángulo rectángulo escaleno muy conocido, es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la hipotenusa, y estos dos lados forman un ángulo agudo de 30º y el otro ángulo de 60º, (30-90-60) y se obtiene al bisecar un triángulo equilátero por su altura; resultan estas razones entre dichos lados. Si admitimos que el lado del triángulo equilátero es 2a y mediante una altura se obtienen dos triángulos rectángulos, tal que en cada uno la hipotenusa es 2a ; cateto opuesto al ángulo de 30º, a y cateto opuesto al ángulo de 60º, a√3, se obtienen los siguientes valores de los respectivos senos:

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Propiedades de un Triángulo Rectángulo

Todo triángulo rectángulo cuenta con las siguientes propiedades:

  • Tiene un ángulo recto (90°).
  • Tiene dos ángulos agudos que son complementarios, es decir, que la suma de ambos es de 90°.
  • La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos.
  • El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
  • La suma de la longitud de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de la longitud de los catetos.
  • Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.
  • La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo rectángulo escaleno en dos triángulos: uno obtusángulo y otro acutángulo, no congruentes pero equivalentes.
  • La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes y equivalentes.
  • Dos triángulos rectángulos, con hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilátero birrectángulo.
  • La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
  • La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.

4 posibles casos en triángulos rectángulos

Como se mencionó anteriormente, para un triángulo rectángulo, hay cuatro escenarios posibles. Para ello se citan fórmulas:

Para ilustrar cada caso se utilizan los símbolos utilizados en las figuras citadas en los elementos del triángulo rectángulo. Los lados a, b y c son los lados de los ángulos α, β y γ.

Caso I: Se conoce la Hipotenusa y un cateto

En este caso, hay datos conocidos: a, b y α. Las incógnitas son: c, β, γ, S (área del triángulo). Se usan las siguientes fórmulas:

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Caso II: Se conocen dos catetos

En este caso tenemos como datos conocidos: b, c y α. Las incógnitas son: a, β, γ y S (superficie del triángulo). Fórmulas a usar:

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Caso III: Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo

En este caso tenemos como datos conocidos: a y β. Las incógnitas son: b, c, γ y S (superficie del triángulo). Fórmulas a usar:

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Caso IV: Se conoce un cateto y un ángulo agudo

En este caso tenemos como datos conocidos: b y β. Las incógnitas son: a, c, γ y S (superficie del triángulo). Fórmulas a usar:

Triángulo Rectángulo: Definición, Casos y Elementos

Fuente

Informe Global. (s.f.). Triangulo Rectángulo: Casos, Elementos y Ejemplos. Recuperado de: https://informeglobal.com/triangulo-rectangulo-resumen-con-casos/

Wikipedia. (s.f.). Triángulo rectángulo. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

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