Vectores: Ejercicios, Propiedades y Componentes

En matemática y física, un vector se define como un segmento de recta o plano que tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido. De esta manera, los vectores hacen posible representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

Índice
  1. ¿Cuál es la representación gráfica de los vectores?
  2. Gráfica en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares
  3. Gráfica en el sistema de coordenadas polares
  4. Convertir de coordenadas polares a cartesianas o viceversa en los vectores
  5. Vectores: propiedades y operaciones
    1. Igualdad de Vectores
    2. Suma de vectores
    3. Negativo de un Vector
    4. Resta de Vectores
    5. Multiplicación de Vectores
  6. Fuente

¿Cuál es la representación gráfica de los vectores?

Los vectores se pueden representar de manera gráfica en el sistema de coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas polares. Cada uno de estos sistemas de coordenadas tiene su función, por ejemplo, en el caso de que se quiera representar el desplazamiento de un objeto, se indica el sistema de coordenadas cartesianas, mientras que el sistema de coordenadas polares hace referencia más al plano de la navegación y la ubicación.

Gráfica en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares

Cualquier vector sin importar sus propiedades se puede representar en el sistema de coordenadas cartesianas, para ellos es relevante recalcar que los vectores tienen dos componentes, uno en el eje x y otro en el eje y. De esta manera, se presenta una gráfica del vector en el plano de coordenadas rectangulares:

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Con este gráfico se puede decir que el vector F equivale a la suma de Fx y Fy, que son las componentes rectangulares del vector.

Gráfica en el sistema de coordenadas polares

En el caso de representar un vector en sus coordenadas polares, sólo se requiere de su ángulo, tomado en sentido antihorario, quizás en radianes o grados, y su coeficiente (longitud). Su gráfica será:

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Convertir de coordenadas polares a cartesianas o viceversa en los vectores

En algunos casos es necesario el trabajar con las coordenadas cartesianas a partir de las coordenadas polares, o también se puede dar el caso contrario. Para ello, se incluirán las fórmulas utilizadas para realizar la conversión de la siguiente manera:

De coordenadas polares a cartesianas

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De coordenadas cartesianas a polares

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Vectores: propiedades y operaciones

A continuación, se muestran las propiedades de los vectores, que son base fundamental para la física clásica:

Igualdad de Vectores

Se dice que dos vectores A y B son iguales si tienen la misma dirección, magnitud y sentido. Lo que quiere decir que se pueden tener varios vectores, con diferentes puntos de inicio y estos pueden ser iguales. Un ejemplo gráfico de esta propiedad es típico caso donde encontramos los diferentes vectores en el plano cartesianos, cumpliendo con la condición de igualdad:

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Suma de vectores

Antes de comenzar con las propiedades de la suma, es importante especificar que para la suma de vectores se puede realizar de forma gráfica y analítica, en este caso abordaremos la manera analítica la cual es la más usada al momento de operar en ejercicios comunes de física.

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Ejemplo: Hallar la suma de los vectores

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Por último, la suma de los dos vectores es:

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Se debe pasar ahora a las propiedades de la suma de vectores, por un lado tenemos la ley conmutativa que expresa:

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Y por otra parte se tiene la propiedad asociativa en los vectores que se expresa como:

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Negativo de un Vector

El negativo de un vector establece que la suma de todo negativo de un vector es igual a cero. Lo anterior se expresa como:

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Por ejemplo:

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Resta de Vectores

La resta de vectores hace uso del negativo de un vector, si lo vemos como la suma del vector no negativo de b sumado al vector a. Para restar analíticamente los vectores se debe operar de la siguiente manera:

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Ejemplo: Restar los siguientes vectores

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Multiplicación de Vectores

En la multiplicación de vectores se puede dar entre vectores o por un escalar. Se iniciarán explicando como se opera la multiplicación de un vector por un escalar.

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Ejemplo:

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Por otra parte, si se quiere multiplicar vectores se tiene por un lado al producto escalar que se expresa como:

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Ejemplo:

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A continuación, es hora de abordar otro tipo de producto entre vectores y es el producto vectorial:

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Ejemplo con ese tipo de producto:

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Por último, se puede expresar el producto escalar y vectorial en función del ángulo que forman los dos vectores, para ello haremos uso también del módulo de un vector:

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Fuente

Informe Global. (s.f.). Vectores: Operaciones , Propiedades y Componentes. Recuperado de: https://informeglobal.com/operaciones-de-vectores-resumen/

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